정규분포와 조건부 확률 추론 문제

문제

연속확률변수 $X$는 정규분포 $N(\mu, \sigma^2)$을 따른다. 다음 세 조건을 만족시키는 상수 $a$와 $\sigma$에 대하여 $a+\sigma$의 값을 구하시오.

(가) $P(X \le 2a+3) + P(X \ge 4a-1) = 1$ (나) $P(X \le 2a+3 \mid X \ge \mu-3) = \frac{2}{3}$ (다) $P(X > 4a-1) \ge P(Z > 0.5)$

단, $Z$는 표준정규분포 $N(0, 1)$을 따르는 확률변수이며, 아래 표준정규분포표를 이용한다. $P(Z \le 0.5) = 0.6915$ $P(Z \le 1) = 0.8413$ $P(Z \le 1.5) = 0.9332$ $P(Z \le 2) = 0.9772$