정규분포와 이항분포 결합 문제

문제

두 연속확률변수 $X, Y$는 각각 정규분포 $N(m, \sigma^2)$과 $N(m_Y, (2\sigma)^2)$을 따른다. 확률변수 $Z$가 표준정규분포를 따를 때, 다음 표준정규분포표의 값을 이용하시오.

$P(Z \le -2) = 0.0228$ $P(Z \le -1) = 0.1587$ $P(Z \le -0.5) = 0.3085$

다음 조건을 만족할 때, $P(Y \le m_Y - \sigma)$의 값을 구하시오.

(가) $P(X \le 70) + P(X \ge 130) = 2 \times 0.1587$

(나) 모집단 $Y$에서 $Y \ge 2m$인 자료를 불량품이라 하자. 모집단 $X$에서 $X \le m - 2\sigma$인 자료를 특별품이라 하자. 불량품일 확률과 특별품일 확률은 서로 같다.

(다) 모집단 $X$에서 임의추출한 3개의 자료 중 $X \ge m+30$인 자료의 개수를 확률변수 $W$라 할 때, $W$의 확률질량함수 $P(W=w)$가 $P(W=0) = P(W=1)$을 만족시킨다.