두 정규분포의 조건 추론 및 확률 계산 문제

문제

확률변수 $X$는 정규분포 $N(\mu_X, \sigma^2)$을 따르고, 확률변수 $Y$는 정규분포 $N(\mu_Y, (2\sigma)^2)$을 따른다. 확률변수 $X$와 $Y$의 확률밀도함수를 각각 $f_X(x)$, $f_Y(y)$라 하자.

다음 조건들을 만족시킬 때, $P(X \le \mu_X - 2\sigma) + P(Y \ge \mu_Y + \sigma)$의 값을 구하시오.

(가) $P(X \ge 42) = P(Y \le 48)$

(나) $P(X \le 38) = P(Y \le 48)$

(다) 어떤 상수 $a$에 대하여 $P(X \le a) = 0.8413$이고 $P(Y \ge a) = 0.8413$이다.

표준정규분포표 $P(Z \le -2) = 0.0228$ $P(Z \le -1) = 0.1587$ $P(Z \le -0.5) = 0.3085$ $P(Z \le 0) = 0.5$ $P(Z \le 0.5) = 0.6915$ $P(Z \le 1) = 0.8413$ $P(Z \le 2) = 0.9772$