정규분포 킬러 문항: 두 확률변수의 관계와 확률 계산

문제

두 확률변수 $X, Y$는 각각 정규분포 $N(\mu, \sigma_X^2)$, $N(2\mu, \sigma_Y^2)$을 따른다. $X$와 $Y$는 서로 독립이며, 다음 조건을 만족한다.

(가) $\sigma_X \sigma_Y = 8$ (나) $P(X \ge \mu + 2) = P(Y \le 2\mu - 4)$ (다) $P(X \ge 2\mu - 1) = 0.0228$

아래 표준정규분포표를 이용하여 $P(X+Y \le 3\mu + K) = 0.9772$를 만족시키는 상수 $K$의 값을 구할 때, $K^2$의 값을 구하시오.

$\begin{array}{|c|c|}\hline z & P(0 \le Z \le z) \\\\ \hline 1.0 & 0.3413 \\\\ \hline 1.5 & 0.4332 \\\\ \hline 2.0 & 0.4772 \\\\ \hline \end{array}$