정규분포와 표본평균의 활용

문제

두 연속확률변수 $X$와 $Y$는 각각 정규분포 $N(m_A, \sigma_A^2)$과 $N(m_B, \sigma_B^2)$을 따른다. 이 두 확률변수에 대해 다음 조건들이 성립한다.

(가) 확률변수 $X$에서 크기가 $16$인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 $\bar{X}_{16}$이라 할 때, $P(\bar{X}_{16} \ge m_A+1) = 0.0228$이다. (나) 두 확률변수의 모수는 $m_B = m_A + 8$과 $\sigma_B = 2\sigma_A$의 관계를 만족한다. (다) $P(X \le 71) = P(Y \ge 76)$이다.

확률변수 $Y$에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 $\bar{Y}_n$이라 할 때, $P(\bar{Y}_n \ge 79) \le 0.0668$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값은? (단, $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이고, 아래 표준정규분포표를 이용한다.)

$P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332$ $P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772$