두 정규분포를 따르는 시험 점수와 확률

문제

어느 고등학교 3학년 학생들의 수학 시험 점수는 정규분포를 따른다. A 그룹 학생들의 시험 점수를 확률변수 $X$라 하고, B 그룹 학생들의 시험 점수를 확률변수 $Y$라 하자.

$X$는 평균이 $\mu_X$, 표준편차가 $\sigma_X$인 정규분포를 따르고, $Y$는 평균이 $\mu_Y$, 표준편차가 $\sigma_Y$인 정규분포를 따른다.

다음 조건을 만족할 때, $P(Y \le k)$의 값을 구하시오.

(가) $P(X \ge 78) = 0.1587$ (나) $P(X \le 60) = 0.0228$ (다) $\mu_Y = \mu_X + 4$ 이고 $\sigma_Y = \frac{2}{3}\sigma_X$ (라) A 그룹에서 점수 $k-6$의 표준점수와 B 그룹에서 점수 $k-2$의 표준점수가 동일하다.

표준정규분포표의 일부는 다음과 같다. $P(Z \le -2) = 0.0228$ $P(Z \le -1) = 0.1587$ $P(Z \le 0) = 0.5$ $P(Z \le 0.5) = 0.6915$ $P(Z \le 1) = 0.8413$ $P(Z \le 2) = 0.9772$