두 정규분포의 교점 확률

문제

어떤 학년의 두 과목 A와 B의 시험 점수는 각각 정규분포를 따른다. 과목 A의 점수를 확률변수 $X$로, 과목 B의 점수를 확률변수 $Y$로 할 때, $X \sim N(\mu_X, \sigma^2)$이고 $Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2)$이다. 다음 조건을 만족할 때, 확률 $P(X < k)$의 값을 구하시오. (단, $k$는 두 확률변수 $X$와 $Y$의 확률밀도함수가 만나는 교점의 $x$좌표이다.)

(가) $P(X \ge 80) = 0.0668$ (나) $P(Y \le 60) = 0.0228$ (다) 과목 A의 평균 점수는 과목 B의 평균 점수보다 6점 높다.

[표준정규분포표] | $z$ | $P(Z \le z)$ | | ------ | ------------ | | $0.75$ | $0.7734$ | | $1.0$ | $0.8413$ |
| $1.5$ | $0.9332$ | | $2.0$ | $0.9772$ |