정규분포와 표본평균의 비교

문제

어느 공장에서 생산되는 두 종류의 제품 A, B의 무게는 각각 정규분포 $N(\mu_A, \sigma^2)$과 $N(\mu_B, \sigma^2)$을 따른다. 다음 조건들을 모두 만족할 때, 상수 $\alpha$의 값을 구하시오.

(가) 제품 A의 무게 $X$에 대하여 $P(X \ge 28) = P(X \le 20)$이다. (나) 제품 A의 무게 $X$에 대하여 $P(X \ge 26) = 0.1587$이다. (다) 제품 B의 무게 $Y$에 대하여 $P(Y \ge 33) = 0.0228$이다. (라) 제품 A에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 $\bar{X}_n$이라 할 때, $P(\bar{X}_n \ge 24.5) = 0.1587$이다. (마) 제품 A에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균 $\bar{X}_n$과 제품 B에서 크기가 $4n$인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균 $\bar{Y}_{4n}$에 대하여 $P(\bar{X}_n \le \alpha) = P(\bar{Y}_{4n} \ge \alpha)$이다.

(단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $P(Z \le -2.0) = 0.0228$, $P(Z \le -1.0) = 0.1587$, $P(Z \le 1.0) = 0.8413$, $P(Z \le 2.0) = 0.9772$이다.)