정규분포와 표본평균의 활용

문제

확률변수 $X$는 평균이 $\mu$, 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따른다. 크기가 $n$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 $\bar{X}$라고 하자. 다음 조건을 만족할 때, $P(\mu - \sigma_{\bar{X}} \le X \le \mu + \sigma_X)$의 값을 구하시오.

(단, $P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$, $P(Z \ge 1) = 0.1587$, $P(Z \ge 2) = 0.0228$, $P(0 \le Z \le 0.2) = 0.0793$ 이고, $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.)

(가) $P(X \le 40) = P(X \ge 60)$ (나) $P(\bar{X} \ge 50.5) = 0.1587$ (다) $P(X \le 45) = 0.0228$