정규분포와 표본평균의 확률 추론 문제

문제

어느 회사에서 생산하는 스마트폰 배터리의 지속 시간 $X$는 평균이 $\mu$분, 표준편차가 $\sigma$분인 정규분포를 따른다. 다음 표준정규분포표를 이용하여 물음에 답하시오.

| $z$ | $P(0 \le Z \le z)$ | |:---:|:----------------------:| | $0.5$ | $0.1915$ | | $1.0$ | $0.3413$ | | $1.5$ | $0.4332$ | | $2.0$ | $0.4772$ | | $2.5$ | $0.4938$ |

이 회사에서 생산하는 스마트폰 배터리에 대하여 다음 세 가지 사실이 알려져 있다.

(가) 임의로 선택한 배터리 1개의 지속 시간이 $230$분 이하일 확률은 $0.0228$이다.

(나) 임의추출한 $n$개의 배터리에 대한 표본평균 $\bar{X}$가 $253$분 이상일 확률은 $0.0668$이다.

(다) 임의추출한 $n$개의 배터리에 대한 표본평균 $\bar{X}$가 $248$분 이하일 확률은 $0.1587$이다.

이 회사에서 $4n$개의 배터리를 임의추출하여 조사했을 때, 표본평균이 $k$분 이하일 확률이 $0.9938$이었다. 이때 상수 $k$의 값은?