두 정규분포를 따르는 확률변수 비교

문제

연속확률변수 $X$는 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$을 따르고, 연속확률변수 $Y$는 정규분포 $\mathrm{N}(2m, (2\sigma)^2)$을 따른다. $m$과 $\sigma$는 양의 상수이다. 다음 확률들을 만족할 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

(가) $\mathrm{P}(X \le 20) = 0.9772$ (나) $\mathrm{P}(X \ge 10) = 0.8413$ (다) $\mathrm{P}(Y \ge k) = \mathrm{P}(X \ge m + 2\sigma)$

아래 표준정규분포표를 이용하여 계산하시오.

\hline z & \mathrm{P}(Z \le z) \\\\ \hline 0.5 & 0.6915 \\\\ 1.0 & 0.8413 \\\\ 1.5 & 0.9332 \\\\ 2.0 & 0.9772 \\\\ \hline \end{array}$$