정규분포와 독립확률변수의 합

문제

제품 A의 무게를 나타내는 확률변수 $X$는 정규분포 $N(m, \sigma^2)$을 따르고, 제품 B의 무게를 나타내는 확률변수 $Y$는 정규분포 $N(m', (\sigma')^2)$을 따른다. 두 확률변수 $X$와 $Y$는 서로 독립이며, $m' = m+10$이고 $\sigma' = 2\sigma$인 관계를 만족한다.

$P(X \le 40) = 0.1587$이고 $P(Y \ge 80) = 0.0228$일 때, 제품 A 1개와 제품 B 2개의 무게의 합이 $185\text{g}$ 이하일 확률을 표준정규분포표를 이용하여 구하시오.

주어진 표준정규분포표는 다음과 같다. $P(Z \le z)$ $\begin{array}{c|c} \hline z & P(Z \le z) \\ \hline -2.0 & 0.0228 \\ -1.0 & 0.1587 \\ 0.0 & 0.5000 \\ 1.0 & 0.8413 \\ 1.5 & 0.9332 \\ 2.0 & 0.9772 \\ \hline \end{array}$