두 정규분포를 따르는 전구 수명 비교 문제

문제

두 가지 종류의 전구 A와 B의 수명은 각각 정규분포를 따른다고 한다.

전구 A의 수명을 확률변수 $X_A$라 할 때, $X_A$는 평균이 $m_A$, 표준편차가 $\sigma_A$인 정규분포 $N(m_A, \sigma_A^2)$를 따른다. 다음 조건들을 만족한다.

(가) 전구 A의 수명이 780시간 이상일 확률은 0.0228이다. (나) 전구 A의 수명이 690시간 이하일 확률은 0.1587이다.

전구 B의 수명을 확률변수 $X_B$라 할 때, $X_B$는 평균이 $m_B$, 표준편차가 $\sigma_B$인 정규분포 $N(m_B, \sigma_B^2)$를 따른다. 다음 조건들을 만족한다.

(다) 전구 B의 수명이 $m_A$ 시간 이상일 확률은 0.9772이다. (라) 전구 B의 수명이 750시간 이상일 확률은 전구 A의 수명이 $m_A - \sigma_A$ 시간 이상일 확률과 같다.

이때, 임의로 선택된 전구 B의 수명이 전구 A의 평균 수명에 전구 A의 표준편차를 더한 값($m_A + \sigma_A$)보다 길 확률을 구하시오.

$\text{표준정규분포표}$ $P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$ $P(0 \le Z \le 2) = 0.4772$