최고급 부품의 수명과 신뢰도 분석

문제

어떤 공장에서 생산되는 두 종류의 전자 부품 A와 B의 수명은 각각 정규분포를 따른다고 알려져 있다. 부품 A의 수명을 확률변수 $X_A$라 할 때, $X_A \sim N(\mu_A, \sigma_A^2)$이다. $P(X_A \ge 84) = 0.0228$ 이고 $P(X_A \le 72) = 0.1587$ 이다. 부품 B의 수명을 확률변수 $X_B$라 할 때, $X_B \sim N(\mu_B, \sigma_B^2)$이다. 부품 B의 표준편차는 부품 A의 표준편차와 같고, $P(X_B \ge \mu_A + 10) = 0.0668$ 이다.

이 공장에서 $n$개의 부품 A를 임의추출하고, 동시에 $n$개의 부품 B를 임의추출하였다. 각 표본의 평균 수명을 각각 $\bar{X}_A$와 $\bar{X}_B$라 하자. 이때 $P(\bar{X}_A \ge \bar{X}_B + 1) \le 0.0013$ 이 성립하도록 하는 자연수 $n$의 최솟값은? (단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $P(Z \ge 1) = 0.1587$, $P(Z \ge 1.5) = 0.0668$, $P(Z \ge 2) = 0.0228$, $P(Z \ge 3) = 0.0013$ 로 계산한다.)