정규분포를 따르는 두 집단의 비교

문제

두 종류의 배터리 P와 Q의 수명은 각각 정규분포를 따른다고 한다. 배터리 P의 수명을 확률변수 $X_P$, 배터리 Q의 수명을 확률변수 $X_Q$라 할 때, $X_P$는 평균이 $\mu_P$, 표준편차가 $\sigma$인 정규분포 $N(\mu_P, \sigma^2)$을 따르고, $X_Q$는 평균이 $\mu_Q$, 표준편차가 $\sigma$인 정규분포 $N(\mu_Q, \sigma^2)$을 따른다. 이때, $\mu_Q = \mu_P + 20$의 관계가 성립하고, 다음 두 가지 확률 정보가 알려져 있다. $P(X_P \ge 280) = 0.1587$ $P(X_Q \ge 330) = 0.0228$ 아래 표준정규분포표를 이용하여 $P(X_P \ge 220)$의 값을 구하시오.

(단, $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.)

$$\begin{array}{|c|c|} \hline z & P(Z \le z) \\ \hline 1.0 & 0.8413 \\ 2.0 & 0.9772 \\ \hline \end{array}$$