구슬 이동 규칙에 따른 최종 확률 계산

문제

두 주머니 $A$와 $B$에 각각 다음과 같은 구슬이 들어있다.

• 주머니 $A$: 흰 구슬 3개, 검은 구슬 2개
• 주머니 $B$: 흰 구슬 2개, 검은 구슬 3개

다음 시행을 한다.

1. 두 주머니 $A, B$ 중 하나를 임의로 선택한다.
2. 선택한 주머니에서 구슬 2개를 동시에 꺼낸다.
3. 꺼낸 구슬의 색깔이 서로 같으면, 꺼낸 2개의 구슬을 다시 선택했던 주머니에 넣고, 다른 주머니에 흰 구슬 1개와 검은 구슬 1개를 추가한다.
4. 꺼낸 구슬의 색깔이 서로 다르면, 꺼낸 2개의 구슬을 다른 주머니로 옮긴다.

위 시행이 끝난 후, 주머니 $B$에서 구슬 1개를 임의로 꺼낼 때, 이 구슬이 흰 구슬일 확률은?