주머니 속 공과 조건부 확률

문제

두 개의 주머니 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$에 각각 다음과 같은 공이 들어 있습니다.

• 주머니 $\mathrm{A}$: 흰 공 $3$개, 검은 공 $2$개
• 주머니 $\mathrm{B}$: 흰 공 $1$개, 검은 공 $4$개

다음 시행을 합니다.

1. 공정한 동전을 두 번 던져 앞면(H) 또는 뒷면(T)이 나오는 것을 확인합니다.
2. 첫 번째 동전 던지기 결과에 따라 플레이어 $\mathrm{P}_1$이 공을 하나 뽑습니다.
   • 첫 번째 동전이 앞면(H)이면 $\mathrm{A}$에서 $1$개 선택.
   • 첫 번째 동전이 뒷면(T)이면 $\mathrm{B}$에서 $1$개 선택.
3. $\mathrm{P}_1$이 공을 하나 뽑은 후, 뽑은 공이 흰색이면 (뽑은 공을) 다른 주머니에 넣고, 검은색이면 (뽑았던 공을) 원래 주머니에 다시 넣습니다. (이때, 뽑은 공은 다시 넣지 않는 비복원 추출 방식이 아닌, 공의 색깔에 따라 정해진 규칙에 따라 주머니에 다시 넣거나 옮겨집니다.)
4. 두 번째 동전 던지기 결과에 따라 플레이어 $\mathrm{P}_2$가 공을 하나 뽑습니다.
   • 두 번째 동전이 앞면(H)이면 $\mathrm{A}$에서 $1$개 선택.
   • 두 번째 동전이 뒷면(T)이면 $\mathrm{B}$에서 $1$개 선택.

$\mathrm{P}_2$가 흰 공을 뽑았을 때, $\mathrm{P}_1$도 흰 공을 뽑았을 확률은 $\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)