상자 속 공 뽑기 게임의 조건부 확률

문제

어느 게임에는 두 종류의 상자, A형과 B형이 있습니다. A형 상자에는 흰 공 $3$개와 검은 공 $2$개가 들어있고, B형 상자에는 흰 공 $2$개와 검은 공 $3$개가 들어있습니다. 게임을 시작하기 전에 비어 있는 두 개의 상자 $X_1$과 $X_2$를 준비합니다.

다음 규칙에 따라 상자 $X_1$과 $X_2$에 공을 채우고 공을 뽑는 과정을 진행합니다.

1. 공정한 주사위 한 개를 던져 나온 눈의 수가 $3$의 배수이면 상자 $X_1$을 A형으로, 상자 $X_2$를 B형으로 채웁니다. 나온 눈의 수가 $3$의 배수가 아니면 상자 $X_1$을 B형으로, 상자 $X_2$를 A형으로 채웁니다.
2. 상자가 채워진 후, 상자 $X_1$에서 공 $1$개를 임의로 꺼내어 상자 $X_2$로 옮깁니다.
3. 상자 $X_2$에서 공 $2$개를 동시에 꺼냅니다.

상자 $X_2$에서 꺼낸 공 $2$개가 모두 흰 공이었을 때, 상자 $X_1$이 처음에 A형 상자로 채워졌을 확률은?