두 주머니에서 공을 뽑는 조건부 확률

문제

두 주머니 $A$와 $B$가 있다. 주머니 $A$에는 흰 공 $3$개와 검은 공 $2$개가 들어 있고, 주머니 $B$에는 흰 공 $4$개와 검은 공 $3$개가 들어 있다.

다음 시행을 한다.

1. 주머니 $A$에서 임의로 공 한 개를 꺼낸다.
2. 꺼낸 공의 색에 따라 주머니 $B$에 공을 추가한다.
   • 주머니 $A$에서 흰 공을 꺼냈을 경우: 주머니 $B$에 흰 공 $2$개를 추가한다.
   • 주머니 $A$에서 검은 공을 꺼냈을 경우: 주머니 $B$에 흰 공 $1$개와 검은 공 $1$개를 추가한다.
3. 주머니 $B$에서 임의로 공 두 개를 동시에 꺼낸다.

주머니 $B$에서 꺼낸 두 개의 공이 서로 다른 색일 때, 주머니 $A$에서 꺼낸 공이 흰 공이었을 확률은?