공 옮기기 및 공 뽑기 확률 문제

문제

두 상자 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$에는 각각 다음과 같은 공들이 들어 있습니다.

• 상자 $\mathrm{A}$: 흰 공 4개⚽⚽⚽⚽, 검은 공 2개⚽⚽
• 상자 $\mathrm{B}$: 흰 공 1개⚽, 검은 공 3개⚽⚽⚽

한 개의 주사위를 한 번 던져서 다음과 같은 시행을 합니다.

• 주사위 눈의 수가 3의 배수이면 (사건 $E_3$), 상자 $\mathrm{A}$에서 공 1개를 임의로 선택하여 상자 $\mathrm{B}$로 옮깁니다.
• 주사위 눈의 수가 3의 배수가 아니면 (사건 $E_{\not3}$), 상자 $\mathrm{B}$에서 공 1개를 임의로 선택하여 상자 $\mathrm{A}$로 옮깁니다.

위 시행을 마친 후, 두 상자 중 한 상자를 임의로 선택하여 공 2개를 동시에 꺼냈더니, 꺼낸 2개의 공이⚽⚽ 모두 흰 공이었습니다. 이때, 처음에 주사위 눈의 수가 3의 배수였을 확률은?