두 주머니 공 교환 후 조건부확률

문제

두 주머니 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$에는 각각 $6$개의 공이 들어 있다. 처음에 주머니 $\mathrm{A}$에는 검은 공 $4$개와 흰 공 $2$개가 들어 있고, 주머니 $\mathrm{B}$에는 검은 공 $2$개와 흰 공 $4$개가 들어 있다.

다음과 같은 시행을 한다:

1. 주머니 $\mathrm{A}$에서 임의로 공 $1$개를 꺼내어 주머니 $\mathrm{B}$에 넣고, 동시에 주머니 $\mathrm{B}$에서 임의로 공 $1$개를 꺼내어 주머니 $\mathrm{A}$에 넣는다. (이 과정을 '공 교환'이라 하자.)
2. 공 교환을 마친 후, 주머니 $\mathrm{A}$에서 임의로 공 $1$개를 꺼내고 주머니 $\mathrm{B}$에서 임의로 공 $1$개를 꺼낸다.

위 시행을 한 결과, 2단계에서 꺼낸 두 공의 색깔이 서로 달랐을 때, 1단계에서 교환된 두 공의 색깔이 서로 달랐을 확률은?