주머니에서 공을 뽑는 조건부확률 문제

문제

주머니 $A$에는 흰 공 3개와 검은 공 $n$개 (단, $n \ge 2$)가 들어 있고, 주머니 $B$에는 흰 공 2개와 검은 공 2개가 들어 있다. 다음 시행을 한다.

1. 주머니 $A$에서 공 2개를 동시에 꺼낸다.
2. 꺼낸 공 2개의 색깔이 같으면 다시 주머니 $A$에 넣는다.
3. 꺼낸 공 2개의 색깔이 다르면 주머니 $B$로 옮겨 담는다.
4. 위의 과정이 끝난 후, 주머니 $B$에서 공 2개를 동시에 꺼낸다.

주머니 $B$에서 꺼낸 공 2개의 색깔이 서로 다를 때, 주머니 $A$에서 처음에 꺼낸 공 2개의 색깔이 서로 같았을 확률은 $\frac{5}{11}$이다. $n$의 값을 구하시오.