주사위와 주머니 공 뽑기

문제

두 주머니 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$에는 각각 다음과 같이 흰 공과 검은 공이 들어 있습니다. \begin{itemize} \item 주머니 $\mathrm{A}$: 흰 공 3개⚽⚽⚽, 검은 공 2개⚽⚽ \item 주머니 $\mathrm{B}$: 흰 공 2개, 검은 공 3개 \end{itemize} 다음 시행을 합니다. \begin{enumerate} \item 한 개의 주사위를 던져 3의 배수의 눈이 나오면 주머니 $\mathrm{A}$를 선택하고, 그 외의 눈이 나오면 주머니 $\mathrm{B}$를 선택합니다. \item 선택된 주머니에서 공 1개를 꺼내어 색을 확인합니다. \item 꺼낸 공이 흰 공이면, 다른 주머니에서 흰 공 1개를 꺼내어 현재 주머니에 넣습니다. 꺼낸 공이 검은 공이면, 다른 주머니에서 검은 공 1개를 꺼내어 현재 주머니에 넣습니다. (단, 꺼낸 공은 다시 원래 주머니에 넣지 않고, 색을 확인한 후 즉시 규칙에 따라 공을 이동시키며, 이동시킨 공은 현재 주머니에 합쳐집니다.) \item 공의 이동이 완료된 후, 현재 주머니에서 공 1개를 다시 꺼냅니다. \end{enumerate} 위 시행에서 두 번째로 꺼낸 공이 흰 공이었을 때, 처음에 주머니 $\mathrm{A}$가 선택되었을 확률은?