상자 속 구슬과 확률 변화

문제

두 상자 $A$와 $B$에는 각각 흰 구슬과 검은 구슬이 들어 있습니다. 상자 $A$에는 흰 구슬 3개와 검은 구슬 2개가 들어 있고, 상자 $B$에는 흰 구슬 2개와 검은 구슬 3개가 들어 있습니다.

다음 규칙에 따라 구슬을 뽑는 시행을 합니다.

1. 동전 한 개를 던져 앞면이 나오면 상자 $A$를 선택하고, 뒷면이 나오면 상자 $B$를 선택합니다.
2. 선택한 상자에서 구슬 1개를 임의로 꺼냅니다.
3. 꺼낸 구슬이 흰 구슬인 경우, 그 구슬을 다시 선택한 상자에 넣고 선택한 상자에 흰 구슬 1개를 추가합니다. 그 후, 이 변형된 상자에서 구슬 1개를 다시 꺼냅니다.
4. 꺼낸 구슬이 검은 구슬인 경우, 그 구슬을 다시 선택한 상자에 넣고 다른 상자에 검은 구슬 1개를 추가합니다. 그 후, 원래 선택했던 상자에서 구슬 1개를 다시 꺼냅니다.

이 시행에서 두 번째 꺼낸 구슬이 흰 구슬이었을 때, 첫 번째 꺼낸 구슬이 검은 구슬이었을 확률은 $P$이다. $P$의 값은?