복잡한 조건부 확률 문제

문제

다음과 같은 시행을 한다. 주머니에는 흰 공 $2$개와 검은 공 $2$개가 들어있고, 상자 A에는 흰 공 $1$개와 검은 공 $1$개가 들어있으며, 상자 B에는 흰 공 $2$개와 검은 공 $2$개가 들어있다.

[시행 과정]

1. 공정한 동전을 한 번 던진다.
   • 앞면이 나오면 주머니에서 흰 공 $1$개와 검은 공 $1$개를 꺼내 상자 A에 넣는다.
   • 뒷면이 나오면 주머니에서 흰 공 $2$개를 꺼내 상자 A에 넣는다.
2. 이후 상자 A와 상자 B 중 하나를 임의로 선택한다. (각 상자를 선택할 확률은 $\frac{1}{2}$이다.)
3. 선택된 상자에서 공 $2$개를 동시에 꺼낸다.

위 시행에서 꺼낸 공 $2$개가 서로 다른 색깔일 때, 선택된 상자가 상자 A였을 확률은?