주사위 눈금에 따른 공 이동과 조건부 확률

문제

두 주머니 $A$, $B$에 각각 다음과 같이 공이 들어있다. 주머니 $A$: 흰 공 3개⚽⚽⚽, 검은 공 3개 주머니 $B$: 흰 공 1개⚽, 검은 공 1개

다음의 시행을 한다.

1. 한 개의 주사위를 던진다.
2. 주사위 눈의 수가 3의 배수이면 주머니 $A$에서 공 2개를 임의로 꺼내어 주머니 $B$에 넣는다.
3. 주사위 눈의 수가 3의 배수가 아니면 주머니 $A$에서 공 1개를 임의로 꺼내어 주머니 $B$에 넣는다.
4. 위 과정이 끝난 후, 주머니 $B$에서 공 1개를 임의로 꺼낸다.

주머니 $B$에서 꺼낸 공이 흰 공일 때, 주사위 눈의 수가 3의 배수였을 확률은?