두 주머니에서 카드 합을 선택하는 조건부확률 문제

문제

두 개의 주머니 $A$와 $B$가 있다. 주머니 $A$에는 숫자 $1, 2, 3, 4$가 각각 하나씩 적힌 4장의 카드가 들어있고, 주머니 $B$에도 숫자 $1, 2, 3, 4$가 각각 하나씩 적힌 4장의 카드가 들어있다. 다음과 같은 시행을 한다.

1. 주머니 $A$에서 2장의 카드를 동시에 꺼낸다. 꺼낸 카드에 적힌 두 수의 합을 $S_A$라 한다.
2. 주머니 $B$에서 2장의 카드를 동시에 꺼낸다. 꺼낸 카드에 적힌 두 수의 합을 $S_B$라 한다.
3. 한 개의 주사위를 한 번 던져 나오는 눈의 수를 확인한다. 만약 주사위 눈의 수가 1 또는 2이면 $S_A$를 최종 선택하고, 주사위 눈의 수가 3, 4, 5, 6이면 $S_B$를 최종 선택한다. 이렇게 선택된 수를 $S$라 하자.

$S$가 홀수일 때, 주머니 $A$에서 꺼낸 2장의 카드 중 숫자 $4$가 적힌 카드가 포함되어 있었을 확률은?

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