공의 색깔 변화 규칙에 따른 조건부 확률 문제

문제

어떤 상자에는 $n$개의 흰 공과 $n$개의 검은 공이 들어 있다. ($n \ge 2$인 자연수)

[시행 1] 상자에서 공 2개를 동시에 꺼낸다.

• 꺼낸 공의 색깔이 서로 같으면, 꺼낸 공을 상자에 다시 넣고 흰 공 $n-1$개를 상자에 추가한다.
• 꺼낸 공의 색깔이 서로 다르면, 꺼낸 공을 상자에 다시 넣고 검은 공 $n-1$개를 상자에 추가한다.

[시행 2] 시행 1의 결과로 변화된 상자에서 공 2개를 동시에 꺼낸다.

$n=3$일 때, 시행 2에서 꺼낸 2개의 공이⚽⚽ 모두 흰 공이었을 때, 시행 1에서 꺼낸 2개의 공이 서로 다른 색깔이었을 확률은?