항아리 공 뽑기 조건부확률

문제

어떤 항아리에는 처음에 흰 공 3개와 검은 공 2개가 들어있다. 다음과 같은 두 번의 실험을 순서대로 진행한다.

[실험 1]

1. 항아리에서 공 한 개를 임의로 꺼낸다.
2. 꺼낸 공이 흰 공이면, 그 공을 다시 항아리에 넣고 흰 공 1개를 추가로 넣는다.
3. 꺼낸 공이 검은 공이면, 그 공을 다시 항아리에 넣고 검은 공 1개를 추가로 넣는다.

[실험 2]

1. (실험 1을 마친 후의) 항아리에서 공 한 개를 임의로 꺼낸다.
2. 꺼낸 공이 흰 공이면, 그 공을 다시 항아리에 넣고 흰 공 2개를 추가로 넣는다.
3. 꺼낸 공이 검은 공이면, 그 공을 다시 항아리에 넣고 검은 공 1개를 추가로 넣는다.

실험 1 또는 실험 2에서 꺼낸 공 중에서 검은 공이 정확히 한 번 나오는 사건을 $E$라 하자. 그리고 두 번의 실험을 마친 후, 항아리에 있는 공 중에서 공 한 개를 임의로 꺼냈을 때, 이 공이 흰 공일 사건을 $W_3$라고 하자. 사건 $W_3$가 일어났을 때, 사건 $E$가 일어났을 조건부확률 $P(E | W_3)$은?