구슬 상자 이동 규칙 적용 조건부확률

문제

두 개의 상자 A와 B가 있다. 처음에 상자 A에는 흰 구슬 2개와 검은 구슬 1개가 들어있고, 상자 B에는 흰 구슬 1개와 검은 구슬 2개가 들어있다.

다음과 같은 시행을 한다.

1. 두 상자 A, B 중 하나를 임의로 선택한다.
2. 선택된 상자에서 구슬 2개를 동시에 꺼낸다.
3. 꺼낸 구슬 2개가 모두 흰 구슬이면, 꺼낸 구슬을 다시 원래 상자에 넣고 다른 상자에 검은 구슬 1개를 추가한다.
4. 꺼낸 구슬 2개 중 적어도 하나가 검은 구슬이면, 꺼낸 구슬을 다시 원래 상자에 넣고 다른 상자에 흰 구슬 1개를 추가한다.

위 시행을 마친 후, 다시 두 상자 A, B 중 하나를 임의로 선택하여 구슬 1개를 꺼낼 때, 꺼낸 구슬이 흰 구슬이었을 확률이 $P(W_{final})$이다. 이때, 최종적으로 꺼낸 구슬이 흰 구슬이었을 때, 처음에 상자 A를 선택했을 확률을 구하시오.