복합 사건의 조건부 확률

문제

두 개의 주머니 $\text{A}$와 $\text{B}$가 있다. 주머니 $\text{A}$에는 흰 공 3개와 검은 공 3개가 들어있고, 주머니 $\text{B}$에는 흰 공 4개와 검은 공 2개가 들어있다. 다음과 같은 시행을 한다.

1. 한 개의 주사위를 던져 나오는 눈의 수가 3의 배수이면 주머니 $\text{A}$를 선택하고, 3의 배수가 아니면 주머니 $\text{B}$를 선택한다.
2. 선택된 주머니에서 공 2개를 동시에 꺼낸다.
3. 꺼낸 2개의 공을⚽⚽ 다른 주머니에 넣는다.
4. 마지막으로, 3단계에서 공을 받은 주머니에서 공 1개를 꺼낸다.

4단계에서 꺼낸 공이 흰 공이었을 때, 1단계에서 주머니 $\text{A}$가 선택되었을 확률은?