공의 색깔 변화가 있는 주머니 선택과 조건부 확률

문제

두 주머니 A와 B가 있습니다. 주머니 A에는 흰 공 3개⚽⚽⚽, 검은 공 2개가 들어있습니다. (총 5개) 주머니 B에는 흰 공 2개⚽⚽, 검은 공 3개가 들어있습니다. (총 5개)

한 개의 주사위를 한 번 던져서,

• 3의 배수의 눈이 나오면 주머니 A를 선택하고,
• 3의 배수가 아닌 눈이 나오면 주머니 B를 선택합니다.

선택된 주머니에서 공 한 개를 임의로 꺼냅니다. 이 공을 '첫 번째 공'이라 합니다.

• 꺼낸 첫 번째 공이 흰 공이면, 첫 번째 공을 꺼낸 주머니에 검은 공 한 개를 추가합니다.
• 꺼낸 첫 번째 공이 검은 공이면, 첫 번째 공을 꺼낸 주머니에 흰 공 한 개를 추가합니다.

그 후, 첫 번째 공을 꺼낸 주머니에서 다시 공 한 개를 임의로 꺼냅니다. 이 공을 '두 번째 공'이라 합니다.

두 번째 공이 흰 공일 때, 첫 번째 공이 흰 공이었을 확률을 구하시오.