확률 변화를 고려한 조건부확률

문제

두 종류의 주머니 $A$와 $B$가 있다. 주머니 $A$에는 흰 공 3개와 검은 공 2개가 들어 있고, 주머니 $B$에는 흰 공 2개와 검은 공 3개가 들어 있다.

다음 시행을 한다.

1. 두 주머니 중 임의로 하나를 선택한다.
2. 선택된 주머니에서 공 한 개를 꺼내어 색깔을 확인한 후, 그 공을 다시 주머니에 넣는다.
3. 이후, 2단계에서 꺼냈던 공과 같은 색의 공 한 개를 주머니에 추가로 넣는다.
4. 주머니에 총 6개의 공이⚽⚽⚽⚽⚽⚽ 들어 있는 상태에서, 이 주머니에서 공 두 개를 동시에 꺼낸다.

4단계에서 꺼낸 두 개의 공이 모두 흰 공이었을 때, 처음 선택된 주머니가 $A$였을 확률은?