복잡한 주머니에서 공 꺼내기 확률

문제

두 개의 주머니 $A$와 $B$가 있다. 주머니 $A$에는 흰 공 2개⚽⚽, 검은 공 3개가 들어있고, 주머니 $B$에는 흰 공 3개⚽⚽⚽, 검은 공 2개가 들어있다. 다음 규칙에 따라 공을 꺼내고 이동시킨 후 마지막에 공을 꺼낼 때, 특정 조건부확률을 구하시오.

[규칙]

1. 두 주머니 $A, B$ 중 하나를 임의로 선택한다.
2. 선택된 주머니에서 공 1개를 꺼낸다.
3. 꺼낸 공이 흰 공이면 다른 주머니에 넣고, 검은 공이면 꺼냈던 주머니에 다시 넣는다.
4. 위의 과정이 끝난 후, 다시 두 주머니 $A, B$ 중 하나를 임의로 선택한다.
5. 선택된 주머니에서 공 1개를 꺼낸다.

5단계에서 꺼낸 공이 흰 공이었을 때, 2단계에서 꺼낸 공이 검은 공이었을 확률은?