복합 상자 추출 조건부확률

문제

두 개의 상자 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$가 있다. 상자 $\mathrm{A}$에는 흰 공 $3$개와 검은 공 $2$개가 들어 있고, 상자 $\mathrm{B}$에는 흰 공 $2$개와 검은 공 $3$개가 들어 있다.

한 개의 동전을 던져 앞면이 나오면 상자 $\mathrm{A}$에서 공 한 개를 임의로 꺼내고, 뒷면이 나오면 상자 $\mathrm{B}$에서 공 한 개를 임의로 꺼내어 색을 확인하고, 꺼낸 공을 다시 넣지 않는다.

이 시행 후, 상자 $\mathrm{A}$에서 공 한 개를 임의로 꺼내고, 상자 $\mathrm{B}$에서도 공 한 개를 임의로 꺼낼 때, 처음 꺼낸 공이 흰색이었을 때 나중에 꺼낸 두 공이 모두 흰색일 확률은?