원과 직선의 조건적 접촉

문제

좌표평면에서 원 $C$는 다음 세 가지 조건을 만족시킨다.

1. 원 $C$는 $x$축에 접한다.
2. 원 $C$는 직선 $L: x-y-4=0$에 접한다.
3. 원 $C$는 원점 $(0,0)$을 지난다.

위 조건을 만족하는 원은 두 개가 존재하며, 이 두 원의 반지름을 각각 $r_1, r_2$라 하자. 이 두 원의 넓이의 합이 $k\pi$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.