두 원과 공유점의 조건

문제

좌표평면 위에 점 $A(-1, 0)$과 $B(3, 0)$이 있다. $y$축 위에 있지 않은 점 $P(k, m)$ ($m>0$)에 대하여 다음 조건을 만족하는 모든 $k$ 값의 합을 구하시오.

(가) 점 $P$를 지나고 $x$축에 점 $A$에서 접하는 원을 $C_1$이라 하고, 이 원의 중심을 $O_1$이라 하자. (나) 점 $P$를 지나고 $x$축에 점 $B$에서 접하는 원을 $C_2$라 하고, 이 원의 중심을 $O_2$라 하자. (다) 직선 $O_1O_2$는 직선 $y=2x$에 평행하다. (라) 점 $P$와 직선 $O_1O_2$ 사이의 거리는 $2\sqrt{5}$이다.