원의 방정식과 접선, 존재 조건

문제

좌표평면 위에 두 점 $A(1, 0)$과 $B(5, 0)$이 있다. 원 $C$의 중심은 $(a, b)$이고 반지름의 길이는 $r$이다.

원 $C$가 다음 세 조건을 모두 만족할 때, $r$의 최댓값은 $p\sqrt{2} + q\sqrt{3}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.

(가) 원 $C$는 두 점 $A$와 $B$를 지난다. (나) 원 $C$는 직선 $y = x+1$에 접한다. (다) 직선 $y=-1$ 위에 원 $C$에 그은 두 접선이 이루는 각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta = \frac{3}{5}$을 만족시키는 점이 존재한다.