두 원의 공통현과 접선 조건 활용의 정답은?

이 문제의 정답은 5번입니다. 자세한 풀이는 Mathology에서 확인하세요.

매우 어려움도형의 방정식

두 원의 공통현과 접선 조건 활용

변하는 원의 중심의 자취를 구하고, 공통현이 또 다른 고정된 원에 접할 조건을 이용하여 반지름의 곱을 구하는 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 1학년

문제

좌표평면 위에 원 $C_1: x^2+y^2=9$ 가 있다. 원 $C_2$ 는 점 $P(4,0)$ 을 지나고 직선 $x=-5$ 에 접한다. 원 $C_2$ 의 중심을 $(a,b)$ 라 하고 반지름을 $r$ 이라 하자. 두 원 $C_1$ 과 $C_2$ 는 서로 다른 두 점 $A, B$ 에서 만난다. 점 $A, B$ 를 지나는 직선 $L$ 이 원 $C_3: x^2+y^2=\\frac{1}{4}$ 에 접할 때, 가능한 모든 원 $C_2$ 의 반지름 $r$ 값들의 곱은?