원의 자취와 대칭 이동을 활용한 최단 거리 문제

문제

좌표평면 위에 두 점 $\mathrm{A}(0, 0)$, $\mathrm{B}(6, 0)$이 있다. 점 $\mathrm{P}$는 $PA^2 + PB^2 = 50$을 만족하는 점들의 자취 위에 있다. 점 $\mathrm{D}(1, 10)$과 직선 $L: y = -x + 10$이 주어졌을 때, 점 $\mathrm{P}$가 점들의 자취 위를 움직이고 점 $\mathrm{Q}$가 직선 $L$ 위를 움직일 때, $PD + PQ$의 최솟값을 구하시오.