세 원의 접선 관계를 이용한 반지름 구하기의 정답은?

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어려움도형의 방정식

세 원의 접선 관계를 이용한 반지름 구하기

좌표평면에서 두 축과 한 직선에 동시에 접하는 두 원과, 이 두 원에 동시에 접하는 또 다른 원의 반지름을 구하는 문제.

2026학년도 수능고등학교 1학년

문제

좌표평면에서 두 점 $A(4,0)$ 과 $B(0,3)$ 을 지나는 직선을 $L$ 이라 하자. 제1사분면에 중심이 있고 $x$ 축과 $y$ 축에 동시에 접하는 원 $C_1$ 중 직선 $L$ 에 접하는 원이 두 개 있다. 이 두 원을 각각 $C_P$ 와 $C_Q$ 라 할 때, $C_P$ 의 반지름은 $C_Q$ 의 반지름보다 작다. 원 $C_S$ 는 중심이 직선 $y=x$ 위에 있으며, 두 원 $C_P$ 와 $C_Q$ 에 동시에 접한다. 가능한 모든 원 $C_S$ 의 반지름의 합을 구하시오.