두 원의 공통현과 직선의 자취

문제

좌표평면 위에 두 원 $C_1: x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$과 $C_k: x^2 + y^2 - 2kx - 1 = 0$이 있다. 원 $C_k$의 중심은 $x$축 위에 있으며, 이 원은 점 $(0,1)$을 지난다.

두 원 $C_1$과 $C_k$의 교점을 지나는 직선 $L_k$는 $k$의 값에 관계없이 항상 한 고정점 $P$를 지난다. 점 $Q(3, -2)$에 대하여, 점 $P$를 지나고 점 $Q$로부터의 거리가 최대가 되는 직선의 방정식을 $y = ax+b$라 할 때, $a^2 + b^2$의 값은?