정사각형과 삼각비

문제

한 변의 길이가 $a$인 정사각형 $ABCD$에서 점 $M$은 변 $AB$의 중점이고, 점 $P$는 변 $AD$ 위의 점으로 $AP=3PD$를 만족한다. 선분 $CM$의 연장선과 선분 $DP$의 연장선이 만나는 점을 $Q$라고 할 때, $\tan(\angle CQD)$의 값은? (단, $Q$는 변 $AD$를 연장한 직선 위에 존재하며, $P$는 $D$와 $A$ 사이에 있다.)