삼각비 활용 고난도 문제: 직각삼각형과 중선의 심화 추론

문제

그림과 같이 $\angle C = 90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$가 있습니다. 변 $AB$의 중점을 $M$, 변 $AC$ 위에 $CD = 2AD$를 만족하는 점 $D$가 있습니다. $\angle AMC = \theta$라 할 때, $\cos \theta = \frac{1}{3}$입니다. 이때, $\tan(\angle CDB)$의 값을 구하시오.

(그림 설명: 직각삼각형 $ABC$에서 $\angle C$는 직각입니다. 빗변 $AB$의 중점을 $M$으로 표시하고, $CM$ 선분이 그려져 있습니다. 변 $AC$ 위에 $D$가 위치하며, $CD$는 $AD$ 길이의 두 배입니다. $BD$ 선분이 그려져 있습니다.)