무리수 구간의 정수 개수와 제곱근 조건

문제

자연수 $n$에 대하여 다음 세 가지 조건을 모두 만족시키는 $n$의 값을 구하시오.

조건 1: $1 \le k \le 10$인 자연수 $k$에 대하여 $\sqrt{n^2+k}$는 자연수이다.

조건 2: $\sqrt{n^2+1}$보다 크고 $\sqrt{2n^2+11n+3}$보다 작은 정수 $x$의 개수가 4이다.

조건 3: $\sqrt{n}$의 정수 부분은 $\sqrt{n-1}$의 정수 부분보다 1 크다.