세 자연수와 제곱근의 성질

문제

자연수 $a, b, c$는 $1 \le a < b < c \le 100$을 만족하는 서로 다른 세 자연수이다. 다음 세 조건을 모두 만족할 때, $a+b+c$의 값을 구하시오.

(가) $\sqrt{a^2 - 12}$는 자연수이다. (나) $\sqrt{b^2 + k}$는 자연수이다. 이때, $k$는 $b>a$를 만족하는 가장 작은 소수이다. (다) $\sqrt{c^2 - 4b}$는 자연수이다.