무리수의 정수 부분과 소수 부분을 활용한 자연수 조건 문제

문제

자연수 $N$에 대하여, $N$이 $10 < N < 100$을 만족하고 완전제곱수가 아닐 때, $\sqrt{N}$의 정수 부분을 $a$, 소수 부분을 $b$라고 하자. 이때, $P = \frac{1}{b} - \frac{1}{b+2a}$ 의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 $N$의 값의 합을 구하시오.