제곱근의 정수/소수 부분 및 식의 값 추론 고난도 문제

문제

자연수 $n$ ($n \\ge 1$)에 대하여 두 실수 $X_n = \\sqrt{n^2+2n+2}$와 $Y_n = \\sqrt{n^2+1}$이 주어져 있다. $X_n$의 정수 부분을 $a_n$, 소수 부분을 $p_n$이라 하고, $Y_n$의 정수 부분을 $b_n$, 소수 부분을 $q_n$이라 하자.

다음 두 조건을 모두 만족하는 자연수 $n$의 값을 모두 찾아 그 합을 구하시오.

(가) $\\frac{1}{p_n} - \\frac{1}{q_n}$ 은 정수이다.

(나) $a_n + 2b_n$은 $40$보다 크고 $50$보다 작은 짝수이다.