제곱근과 실수의 성질을 이용한 수론 문제

문제

자연수 $n$에 대하여 $x = \sqrt{n}$이 무리수라고 하자. $x$의 정수 부분을 $a$, 소수 부분을 $b$라고 할 때, 다음 세 가지 조건을 모두 만족시키는 $n$의 값을 구하시오.

(가) $x$는 $3$보다 크고 $4$보다 작다. (나) $a^2+b^2$을 $A - B\sqrt{C}$의 형태로 나타낼 때, $A, B, C$는 자연수이고 $C$는 제곱인수를 갖지 않는 수이다. 이때, $A+C=44$이다. (다) $\sqrt{n-1} + \sqrt{n+1}$은 정수가 아니다.