제곱근과 실수의 고난도 추론 문제

문제

자연수 $N$에 대하여, 다음 세 조건을 모두 만족하는 $N$의 값을 구하고, 그 $N$을 이용하여 최종 값을 계산하시오.

단, $f(x)$는 $x$의 정수 부분을, $g(x)$는 $x$의 소수 부분을 나타내며, $N$은 $N \ge 1$인 자연수이다.

조건 1: $f(\sqrt{N^2+2N+3}) + f(\sqrt{N^2-2N+3})$의 값은 소수(prime number)이다.

조건 2: 조건 1에서 찾은 $N$에 대하여, $x_N = \sqrt{N^2+3N+1}$의 정수 부분과 소수 부분의 곱 $M = f(x_N) \cdot g(x_N)$의 값을 구한다.

조건 3: 조건 2에서 구한 $M$에 대하여, $P = \frac{1}{M+4} + (M+4)$의 값을 $c\sqrt{d}$ (단, $d$는 제곱근이 없는 자연수)의 형태로 나타낼 때, $c+d$의 값을 구하시오.